【推定】点推定と区間推定の考え方を理解する

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推定とは

サンプルデータから

未知のパラメータや母集団の特徴を

予測する手法として

推定といった手法があります!

推定の種類は

点推定、区間推定です

点推定と区間推定の違い

点推定と区間推定について

表に纏めてみました。

推定	推定方法
点推定	1つの値(推定値)から母集団のパラメータを推定する
区間推定	サンプルデータから二つの値を計算しその中に母集団のパラメータが含まれるという表現を用いて推定する

点推定(Point estimation)

点推定とは

母集団のパラメータ未知数θ(シータ)の値を

データから計算された一点の推定値

から推定する手法のことを言います

推定値を\( \hat θ\)といった記号で表すのが

一般的です

不偏推定量	意味
\(E(\hat θ)=θ\)	データから計算された推定値の期待値は母数の値になる
\(E(\bar x)=μ\)	データから計算された平均値の期待値は母数の値になる
\(E((V)=σ^2\)	データから計算された不偏分散の期待値は母数の値になる

点推定の計算

1.データの異常値をチェックする

2.平均値を計算する

\(\bar x=\frac{10+10.5+9.5+12+9+7+8.5+12+14+12}{10}\)

\(\bar x=10.45\)

\(E(\bar x)=μ\) より

母平均μの推定値は\(\bar μ=10.45\)

区間推定

標本から二つの値（上限と下限)

を計算し二点間の区間内に

母集団のパラメータが含まれる

という表現を用いて推定する

正規分布の平均値の区間推定を考える

確率変数\(x_1,x_2…x_n\)が正規分布に従う時の

以下の性質を利用して母平均の区間推定を考える

標準正規分布

95%内の区間を信頼区間

その境界を臨界点と呼ぶ

2点の臨界点を

確率分布表 Ⅱから求めると

分布で視覚的に確認すると

\(P_r(-1.96≦u≦1.96)=0.95\)

\(-1.96≦ \frac{\bar x -μ}{\sqrt {σ_0^2/n}}≦1.96\)を変形すると

\(\bar x -1.96 \sqrt{σ_0^2/n}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{σ_0^2/n}\)

\(μ\)が区間\((\bar x -1.96 \sqrt{σ_0^2/n},\bar x ＋1.96 \sqrt{σ_0^2/n})\)

に含まれる確率は95%であることを意味している

区間推定例題

\(Pr(-1.96≦u≦1.96)=0.95\)より

\(\bar x -1.96 \sqrt{σ_0^2/n}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{σ_0^2/n}\)

に値を代入していく

\(\bar x=10.45，σ_0^2=5.0,n=10\)より

\(10.45 -1.96 \sqrt{5/10}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{5/10}\)

9.06≦μ≦11.83

参考文献

まとめ