【推定統計】点推定と区間推定をわかりやすく解説　母平均の推定の例題付き

点推定と区間推定の違い

点推定と区間推定について簡単に表に纏めてみました。

推定	推定方法
点推定	1つの値(推定値)から 母集団のパラメータを推定する
区間推定	サンプルデータから二つの値を計算し てその中に母集団のパラメータが含まれるという表現を用いて推定する

点推定

点推定(point estimation)とは
母集団のパラメータ未知数θ(シータ)の
値をデータから計算されたある一点の推定値
から推定する手法のことを言います。
推定値を\( \hat θ\)といった記号で表すのが
一般的です。推定量が\(E(\hat θ)=θ\)
となるとき不偏推定量と呼びます。

不偏推定量	意味
\(E(\hat θ)=θ\)	データから計算された 推定値の期待値は母数の値にになる
\(E(\bar x)=μ\)	データから計算された 平均値の期待値は母数の値になる
\(E((V)=σ^2\)	データから計算された 不偏分散の期待値は母数の値になる

平均値	\(\displaystyle\overline x=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}x_k\)
不偏分散	\({\hat{σ}}^2= \displaystyle \frac{S}{n-1}\)
平方和	\(\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}x_k^2-\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(x_k)^2}{n}\)

点推定例題

1.データの異常値をチェックする

2.平均値を計算する

\(\bar x=\frac{10+10.5+9.5+12+9+7+8.5+12+14+12}{10}\)

\(\bar x=10.45\)

\(E(\bar x)=μ\) より

母平均μの推定値は\(\bar μ=10.45\)

区間推定

サンプルデータから二つの値（上限と下限)
を計算してその中に母集団のパラメータが含まれるという表現を用いて推定する
例として正規分布の平均の区間推定を考える
正規分布の平均についてはこちらの記事で説明しています。

確率変数\(x_1,x_2…x_n\)が正規分布に従う時の
以下の性質を利用して母平均の区間推定を考える

\(u=\displaystyle \frac{\bar x-μ}{\sqrt{\frac{σ_0^2}{n}}}\)	\(N(0,1^2)\)の正規分布に従う
\(\bar x\)	\(N(0,σ^2/n)\)の正規分布に従う

確率0.95を信頼率と呼び
0.95内の区間を信頼区間
その境界を信頼限界と呼ぶ
\(N(0,1^2)\)の95%信頼区間と
信頼限界を正規分布表から求める

０.９５の時,uがとりうる値を確率分布表 Ⅱから求めると

分布で視覚的に確認すると

\(P_r(-1.96≦u≦1.96)=0.95\)

\(-1.96≦ \frac{\bar x -μ}{\sqrt {σ_0^2/n}}≦1.96\)を変形すると

\(\bar x -1.96 \sqrt{σ_0^2/n}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{σ_0^2/n}\)

区間推定例題

\(Pr(-1.96≦u≦1.96)=0.95\)より

\(\bar x -1.96 \sqrt{σ_0^2/n}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{σ_0^2/n}\)

に値を代入していく

\(\bar x=10.45，σ_0^2=5.0,n=10\)より

\(10.45 -1.96 \sqrt{5/10}≦μ≦\bar x ＋1.96 \sqrt{5/10}\)

9.06≦μ≦11.83

参考文献

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まとめ