【仮説検定】1標本の母集団の平均に関する検定と推定

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1つの母平均に関する検定

1標本の母平均に関する検定は

通常、t検定やZ検定が使われます

これらの検定は

標本から計算された

統計量（t値またはZ値)を基に

母集団の平均がある特定の値と

等しいかどうかを評価します。

1つの母平均に関する検定	検定	検定統計量
母分散\(σ_0\)が既知の場合	z検定	\(\displaystyle u_0= \frac{\bar x-μ}{σ_0/\sqrt{n}}\)
母分散\(σ_0\)が未知の場合	t検定	\(\displaystyle t=\frac{\bar x-μ_0}{\hat σ/\sqrt{n}}\)

z検定

母分散\(σ_0\)が既知の場合

母平均の検定は

以下のような手順になります

z検定の方針を決める

装置の設定を変更したことにより

穴の直径が元の直径より小さくなるか

確認したい

帰無仮説は

\(H_0\):装置の設定変更により穴の直径は変化しない

対立仮説は

\(H_1\):装置の設定変更より穴の直径は小さくなった

よって\(H_1:μ≦μ_0\)と設定し

検定統計量が有意水準の値より小さい場合は

帰無仮説を棄却し対立仮説が成立すると

いう左側検定の方針を立てる

帰無仮説,対立仮説を設定する

\(H_0:μ=μ_0\)
\(H_1:μ≦μ_0\)

有意水準\(α\)を決める

\(α=0.05\)とする

棄却域Rを決める

\(u_0≦-1.645\)

Z検定の検定統計量を計算

\(\displaystyle u_0= \frac{\bar x-μ}{\sqrt{σ_0^2/n}}\)

\(\displaystyle u_0= \frac{19.64-20}{\sqrt{0.2^2/10}}\)

\(=-4.9\)

検定の結論

\(u_0≦-1.645\)より有意である

\(H_0\)は棄却され

装置の設定は変更されたと考える

z検定の点推定,区間推定

母平均μの推定手順(σ既知)

点推定:\(\hat μ = \bar x=19.69\)

区間推定:信頼率95%の区間は計算より\((19.56,19.81)\)

t検定

母分散が未知の場合は

与えられたデータから分散を推測して

検定を行う必要がある

標本分散は

\(\displaystyle \hat σ^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\)

の計算を利用して求めることが出来ます

検定に利用する統計量はｔはｚ検定の統計量ｕの

母分散\(σ\)から標本分散\(\hat σ\)に置き換えればよい

帰無仮説,対立仮説を設定する

\(H_0:μ=μ_0\)
\(H_1:μ≦μ_0\)

有意水準\(α\)を決める

\(α=0.05\)とする

棄却域Rを決める

tの自由度9下側5%点はt分布表より

\(t(9,0.1)=1.83\)

左側検定より棄却域は

\(t≦-t(9,0.1)=-1.83\)

t検定の統計検定量を計算

\(\displaystyle t=\frac{\bar x-μ_0}{\hat σ/\sqrt{n}}\)

\(\bar x=19.688, \hat σ^2=0.00104,σ=0.032,μ_0=20\)

t=-30.83

検定の結論

t検定の点推定,区間推定

点推定:\(\hat μ = \bar x=19.69\)

区間推定は計算をすると

\(t=19.688±t(9.0.05)・\frac{0.032}{\sqrt{10}}\)

t分布表より\(t(9,0.05)=2.26\)

\(t=19.688±2.26・\frac{0.032}{\sqrt{10}}\)

区間推定:信頼率95%の区間は計算より\((19.66,19.71)\)

参考文献