【仮説検定】検定における2種の誤りと検出力

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統計的仮説検定の誤り

統計的仮説検定を行う際

帰無仮説\(H_0\)と

対立仮説\(H_1\)を設定する

統計的仮説検定は

母集団から数少ないデータを

サンプリングして推定するものなので

当然誤る可能性がある

検定において2種類の誤りが考えられる。

(列:検定結果,行:真の結果)	\(H_0\)	\(H_1\)
\(H_0\)	真	第二種の過誤 (\(β\))
\(H_1\)	第一種の過誤\(α\)	真(\(1-β\))

1種の過誤(type I error)

‘本来は帰無仮説\(H_0\)が成り立っているのに

これを棄却してしまう誤り’

これを第一種の過信という

例えば

帰無仮説 : 装置の設定値10umからズレていない

\(H_0\)が正しいのに

棄却し

対立仮説 : 装置の設定値10umからズレている

としてしまう確率である

この誤りを起こす確率は有意水準\(α\)に等しい

第二種の過誤(type Ⅱ error)

帰無仮説\(H_0\)が

成り立っていないにも関わらず

\(H_0\)を棄却しない誤り

これを第二種の過信という

例えば

帰無仮説 : 装置の設定値10umからズレていない

\(H_0\)が正しくないのに

棄却しない確率である

この誤りを起こす確率をβと表す

検出力

検出力とは

帰無仮説\(H_0\)が成り立っていない時

\(H_0\)を棄却する確率

で\(1-β\)で表す

\(μ\)が\(μ_0\)に近い場合

検出力とは

帰無仮説\(H_0\)が成り立っていない時

\(H_0\)を棄却する確率で\(1-β\)で表す

両側検定を考えると

\(H_0:μ=μ_0\)

\(H_1:μ\neq μ_0\)

\(α=0.05\)

統計量\(\displaystyle u=\frac{\bar x-μ_0}{\sqrt{σ_0^2/n}}\)

\(❘u_0❘≧1.96\)なら\(H_0\)を棄却するので
\(\bar x\)の棄却域に変換すると

\(\displaystyle \bar x ≦μ_0-1.96\sqrt{\frac{σ_0^2}{n}}\)

\(\displaystyle \bar x ≧μ_0＋1.96\sqrt{\frac{σ_0^2}{n}}\)

検出力1-βは”\(H_1\)が正しい時に

\(H_0\)を採択する確率なので

斜線部以外が第二種の過信βである

MがM0より離れている場合の検出力

\(1-β\)は大きく最大1になる

検出力曲線

帰無仮説\(H_0\)が成り立っていない時

\(H_0\)を棄却する確率

\(\displaystyle1-β=Pr(\bar x ≦μ_0-1.96\sqrt{σ_0^2/n})+Pr(\bar x ≧μ_0＋1.96\sqrt{σ_0^2/n})\)

uで変換すると

\(\displaystyle \frac{μ_0-μ}{σ_0}\)とサンプルサイズn

が決まれば検出力を求めることが出来る

この式から描かれた曲線を検出力曲線という

検出力の計算

\(H_0:μ=μ_0\)
\(H_1:μ≧μ_0\)とする

\(\displaystyle \frac{❘μ_0-μ❘}{σ_0}≧1\)の時

高い確率で検出したいと考える

\(\displaystyle 1-β=Pr(u≦\sqrt{n}・\frac{μ_0-μ}{σ_0} -1.96)\)
\(+Pr(u≧\sqrt{n}・\frac{μ_0-μ}{σ_0}＋1.96)\)の

第二項を無視して計算すると

\(Pr(u≦\sqrt{n-1.96}))=0.9\)

確率分布表 より

\(\sqrt{n}-1.96=1.282\)

参考文献