【推定統計】統計学の検定とは?例題を用いてやさしく解説

検定とは?

部品Aを製造している工場がある。
工場のある工程(装置)を通すと
部品Aのある寸法は10umとなるように設定している。
しかし装置Aで作った製品は
設定値10umからずれているのではないか?
と現場で疑われている。
そこでデータをサンプリングして確かめることにする。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10.5	10.8	9.7	8.8	10.5	10.8	11	10.2	10.5	10.2

平均値\(\bar x\)を求めてみます

\(\frac{10.5+10.8+9.7+8.8+10.5+10.8+11+10.2+10.5+10.2}{10}\)

\(\bar x=10.3\)

結果\(\bar x=10.3\)によって
装置Aから作られている部品Aは
設定値よりずれているかどうか判断できるでしょうか?
結果を客観的に評価するために‘検定’
という統計的な手法があります。
母分散が\(σ^2=0.2\)と分かっているとき
部品Aの寸法が正規分布N(10,0.2)に従うと仮定し
統計量 \(\displaystyle u_0= \frac{\bar x-μ}{\sqrt{σ^2/n}}\)を計算すると
\(\displaystyle u_0= \frac{10.3-10}{\sqrt{0.2/10}}=2.1\)

統計量\(u_0\)は
N(0,1)の標準正規分布に従う性質を持っている
u=2.1は標準正規分布のどの区間にあるだろうか?

信頼率95%の区間にu=2.1があるか確かめる

確率分布表 より

\(Pr(-1.960≦u≦1.960)=0.95\)
u=2.1より信頼率95%の外にあることが分かりました。

\(u=2.1\)になる確率は5%以下です
もしこの装置Aが\(μ=10\)で
作れる能力を持っているのであれば
取得したデータの平均値になる確率が
5%以下であることは不自然と
考えることは自然なことです。
このような判断を下す一連の流れ
つまり手法を検定と言います。

検定手順

検定の方針を決める

今回母平均\(10\)から変化しているかどうか
が論点なので両側検定を行う方針を設定する

帰無仮説と対立仮説を設定する

検定用語	記号	用語の意味
帰無仮説	\(H_0\)	変数や効果に関して影響がない
対立仮説	\(H_1\)	帰無仮説を否定する仮説

例題2は\(μ=20\)が変化しているか
変化していないかが論点となるので
帰無仮説と対立仮説は

\(H_0:μ=20\)
\(H_1:μ\neq20\)

有意水準αを決める

\(H_0\)が成り立つかどうか判定するために有意水準\(α\)を設定する

検定用語	記号	意味
有意水準	\(α\)	得られたデータの値が\(H_0\)の元で不自然か自然か判断するための基準
臨界値	–	統計量と直接比べられる境界値

有意水準を\(α=0.05\)と設定する

棄却域Rを求める

検定用語	記号	棄却域\(α=0.05\)
棄却域	\(R\)	–
対立仮説 (両側検定時)	\(H_1:μ≧μ_0\)	\(1.96≦❘u_0❘\)

\(1.96≦❘u_0❘\)の時\(H_0\)は棄却され有意水準\(5%\)で有意である.

検定に利用する統計量の計算

\(\displaystyle u_0= \frac{\bar x-μ}{\sqrt{σ_0^2/n}}\)を計算すると

\(\displaystyle u_0= \frac{10.3-10}{\sqrt{0.2/10}}=2.1\)

検定の結論を出す

検定の種類

検定	対立仮説	棄却域
両側検定	\(μ\neqμ_0\)	\(1.96≦❘u_0❘\)
左片側検定	\(μ<μ_0\)	\(-1.645≧u_0\)
右片側検定	\(μ>μ_0\)	\(1.645≦u_0\)

両側検定(5%)

\(1.96≦❘u_0❘\)の時有意である、帰無仮説\(H_0\)は棄却される

左側検定(5%)

\(-1.645≧u_0\)の時有意である、帰無仮説\(H_0\)は棄却される

右側検定(5%)

\(1.645≦u_0\)の時有意である、帰無仮説\(H_0\)は棄却される

参考文献

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まとめ