【離散確率分布】ポアソン分布を例題を用いて説明する

あい

今回はポアソン分布について
説明した後、例題を用いて
確率計算を行っていきます!

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ポアソン分布(Poisson distribution)は

ポアソン分布とは二項分布の確率分布で

nが限りなく大きい場合の極限分布です。

ポアソン分布は

“事象の起こる頻度が極端に

少なくめったに起こらない事象が

x回起こる確率を求める場合に利用します。

ポアソン分布が成立する例

ポアソン分布
$\displaystyle P_r(X=x)=\frac{λ^2}{x!}e^{-λ}$
$λはnp$

期待値
$E(x)=λ=nP$

分散
$V(x)=λ=nP$

日本国内で交通事故の人口を

約1億人として

日本全国の事故の件数を

50万件とすると

一人当たりが事故にあう確率は

P=0.005です。

1件の発生確率を

P=0.005とすると

x人が交通事故にあう確率は

二項分布となり

$P_r(X=x)=nC_xP^x(1-P)^{n-x}$

の分布に基づく

しかし日本の人口は

とても大きく

事故にあう確率は

とても小さい

この時二項分布の式は

ポアソン分布の式

に近似できます。

例題1

50万回メモリの書き込みを行うと

1回は書き込みエラーが発生する

USBメモリが存在する

25万回で2個故障が

発生する確率を求めてください。

USBメモリが1回の書き込みでエラーが発生する確率P
$\displaystyle P=\frac{1}{500,000}$
$P=0.000002$

$λ=nP$ より

$λ=250000*0.000002$
$λ=0.5$

25万回で2個発生する確率 $P_r(X=2)$

$\displaystyle P_r(X=2)=\frac{0.5^2}{2!}e^{-0.5}$

$P_r(X=2)=0.0758$

よってメモリを25枚万回書き込んだ時

2回故障する確率は7.6%になります