【仮説検定】2つの母分散に関する検定(F検定)と推定の方法を説明する

[PR]※本サイトには、プロモーションが含まれています

２つの母分散に関する検定

データA,データBが

それぞれ別の正規分布に従っているとき

検定統計量FはF分布に従います!

F分布の性質

• F分布では自由度が二つある\(Φ_1,Φ_2\)
• F検定を行うにはF分布表を使用する
• \(F(Φ_1,Φ_2:1-P)=\displaystyle \frac{1}{F(Φ_2,Φ_1:P)}\)
  の関係が成り立つ
• \(P=Pr(F≧F(Φ_1,Φ_2:P))\)の分布を確認すると

２つの母分散に関するF検定手順

F検定

帰無仮説,対立仮説を立てる

帰無仮説:\(H_0:σ_1^2=σ_2^2\)
対立仮説:\(H_1:σ_1^2\neqσ_2^2\)

有意水準を求める

\(α=0.05\)

棄却域を求める

\(V_1>V_2\)の場合
\(\displaystyle F_0=\frac{V_1}{V_2}≧F(Φ_1,Φ_2,α/2)\)

\(V_1<V_2\)の場合
\(\displaystyle F_0=\frac{V_2}{V_1}≧F(Φ_2,Φ_1,α/2)\)

検定統計量の計算

統計量\(F_0\)は

\(F_0=\frac{V_1}{V_2}\)

もしくは

\(F_0=\frac{V_２}{V_1}\)

機械1から\(V_1\)

機械2から\(V_2\)

を求める

\(V_1=\frac{S_1}{n-1}\)より

\(V_1=\frac{3.581}{9}=0.397\)

\(V_2=\frac{S_2}{n-1}\)

\(V_2=\frac{6.08}{9}=0.676\)

\(V_2＞V_1\)より

\(F_0=\frac{V_２}{V_1}\)

\(F_0=\frac{0.676}{0.397}\)

\(F_0=1.7\)

有意かどうか判定をする

\(F(9,9,0.025)\)はF分布表より

\(F(9,9,0.025)=4.03\)

\(\displaystyle F_0=\frac{V_2}{V_1}≦F(Φ_2,Φ_1,α/2)\)

より有意ではない

よって帰無仮説より

\(σ_1^2=σ_2^2\)である

推定

2つの母分散の比の推定

\(\hat{σ_1^2/σ_2^2}=V_1/V_2\)

信頼率95%区間

\(\displaystyle F(Φ_1,Φ_2,1ーα/2)≦\frac{V_1/σ_1^2}{V_2/σ_2^2}≦F(Φ_1,Φ_2,α/2)\)

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}・\frac{1}{F(Φ_1,Φ_2,α/2)}≦\frac{σ_1^2}{σ_2^2}≦ \frac{V_1}{V_2}・\frac{1}{F(Φ_1,Φ_2,/1-2α)}\)

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}・\frac{1}{F(Φ_1,Φ_2,α/2)}≦\frac{σ_1^2}{σ_2^2}≦ \frac{V_1}{V_2}・F(Φ_1,Φ_2,α/2)\)

\(\displaystyle \hat{σ_1^2/σ_2^2}=(\frac{V_1}{V_2}・\frac{1}{F(Φ_1,Φ_2,α/2)},\frac{V_1}{V_2}・F(Φ_1,Φ_2,α/2))\)

例題の母分散の比の点推定と区間推定

\(\hat{σ_1^2/σ_2^2}=0.397/0.676\)

\(=0.587\)

95%の信頼区間は

\(\displaystyle \hat{σ_1^2/σ_2^2}=(\frac{0.397}{0.676}・\frac{1}{F(9,9,0.025)},\frac{0.397}{0.676}・F(9,9,0.025))\)

\(0.145,2.36\)

推定まとめ

参考文献