離散分布の期待値と分散

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期待値(Expected Value)とは?

期待値は

確率変数の平均値を表す量です

無限回試行を行った時

一番期待できる確率変数の事を

示します

離散分布の期待値

【例題】サイコロの値の期待値

出目\(x\)	商品券(円)\(g(x)\)	確率分布\(f_i)
1	100	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
2	300	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
3	500	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
4	800	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
5	1000	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
6	800	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)

出目xの期待値E(x)は

\(\displaystyle E(x)=1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle +6×\frac{1}{6}\)

\(=3.5\)

商品券g(x)の期待値E(g(x))は

\(\displaystyle E(x)=100×\frac{1}{6}+300×\frac{1}{6}+500×\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle +800×\frac{1}{6}+1000×\frac{1}{6}+800×\frac{1}{6}\)

\(=583(円)\)

出目の期待値は3.5,商品券の獲得金額の期待値は583円になる

母平均と期待値は同じ

期待値E[x]は計測値を

無限回得たときの平均である

期待値の性質

離散分布の分散(Variance)

分散は

確率変数が取りうる値と

その確率の組み合わせから計算されます

分散は

各値が平均から

どれだけ離れているかを示す尺度です

分散の性質1

\(V[x]=E[x^2]-μ^2\)の証明

\(V[x]=E[(x-E[x])^2]\)を展開すると

\(V[x]=E[x^2-2xE[x]+(E[x])^2]\)

\(μ=E[x]\)より\(E[x]\)に\(μ\)を代入すると

\(=E[x^2]-2μE[x]+μ^2\)

\(V[x]=E[x^2]-μ^2\)

【例題】サイコロの出目の分散

分散は\(V[x]=E[x^2]-μ^2\)

\(μは例題1よりμ=3.5\)…(1)

\( \displaystyle E[x^2]=1^2・\frac{1}{6}+2^2・\frac{1}{6}+\)
\( \displaystyle 3^2・\frac{1}{6}+4^2・\frac{1}{6}+5^2・\frac{1}{6}+6^2・\frac{1}{6}\)

\(=15.66\)…(2)

(1)(2)より\(V[x]=E[x^2]-μ^2\)は

\(=15.66-3.5^2\)

\(=3.41\)

標準偏差は\(D[x]=\sqrt{V[x]}\)より

\(D[x]=\sqrt{3.41}\)

\(=1.84\)

分散の性質2