【連続分布】Χの二乗分布について解説

あい

今回はカイの二乗分布に
ついて解説していきます

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1 カイの二乗分布
- 1.1 自由度1,3,5,10のxの二乗分布
- 1.2 \(χ^2\)表の見方
2 参考文献

カイの二乗分布

確率変数\(Z_1,Z_2,…..Z_3\)が

互いに独立に\(N(0,1)\)に従う時

\(W = Z_1^2 + Z_2^2 +…+ Z_n^2\)

は\(X^2\)分布に従う

期待値と分散は

\(E[W] = n , V[W] =2n\)

カイの二乗分布の性質を

いくつか紹介します

2つの確率変数\(W_1 , W_2\)が独立に\(X^2(m_1),X^2(m_2)\)に従う時

\(W_1 + W_2\)は\(X^2(m_1 +m_2)\)に従う

標本\(X_i\)が母集団\(N(μ,σ^2)\)に従う時

\(\displaystyle W =\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-μ)^2}{σ^2}\)

は自由度nの\(x^2\)分布に従う

標本\(X_i\)が母集団\(N(μ,σ^2)\)に従う時

\(\displaystyle W =\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar x)^2}{σ^2}=\frac{(n-1)S^2}{σ^2}\)

は自由度n-1の\(x^2\)分布に従う

自由度1,3,5,10のxの二乗分布

あい

面白い分布になりますね!

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

# 自由度
degrees_of_freedom = [1, 3, 5,10]

# x軸の値
x = np.linspace(0, 20, 1000)

# 各自由度ごとに確率密度関数を計算
for Φ in degrees_of_freedom:
    y = chi2.pdf(x, Φ)
    plt.plot(x, y, label=f'Φ={Φ}')

# グラフの設定
plt.title('Chi-squared Distribution')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density Function')
plt.legend()
# x軸の範囲を設定して0点を左端に
plt.xlim(0, 20)

# y軸の範囲を設定して0点を下端に
plt.ylim(0, 1)
plt.grid(True)
plt.show()