離散分布の期待値と分散の概念の説明と例題を公式を使用して理解を深めよう

こんにちわ!yamuです!
今回は前回記事で説明した
確率分布の一つ
離散分布について解説していきます!
離散分布の
期待値と分散の公式と
意味を例題を使いながら
解説していきます。

この記事はこんな人におススメ

離散分布の期待値と分散の公式を知りたい
離散分布の期待値と分散を本質的に理解したい

合わせて読みたい

1 期待値とは?
2 離散分布の期待値
3 離散分布の分散
4 参考文献
5 まとめ

期待値とは?

期待値（Expected Value）は
確率論や統計学などの数学的な概念で
ある事象が発生する確率と
その事象がもたらす変数を考慮して
変数の平均的な値もしくは
確率分布の重心を表す量です。
つまり期待値は観測データの平均値に
対応する概念であり理論的な確率分布の
平均であることが分かる。

簡単に言うと期待値とは
ある試行を行った時
理想的な一番出る確率の高い変数
のことなんですね!
次に離散分布の期待値の
公式を紹介していきます。
離散分布について詳細を
知りたい方は下記の記事を
参照してください

離散分布の期待値

xが離散型確率変数の時
\(\displaystyle E(x)=\sum_{i=1}^{∞} x_i f_i\)
xの関数g(x)の期待値は
\(\displaystyle E(x)=\sum_{i=1}^{∞} g(x)f_i\)

【例題】サイコロの出目の期待値

例題1

サイコロを1個投げたときに出る目をxと置き
出る目に応じて商品券を獲得できる。
商品券を賞金に換算したものを
下記の表にまとめるとする
出る目の期待値,商品券の金額の期待値を求めよ

出目\(x\)	商品券(円)\(g(x)\)	確率分布\(f_i)
1	100	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
2	300	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
3	500	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
4	800	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
5	1000	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)
6	800	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)

出目xの期待値E(x)は

\(\displaystyle E(x)=1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle +6×\frac{1}{6}\)
\(=3.5\)

商品券g(x)の期待値E(g(x))は

\(\displaystyle E(x)=100×\frac{1}{6}+300×\frac{1}{6}+500×\frac{1}{6}\)
\(\displaystyle +800×\frac{1}{6}+1000×\frac{1}{6}+800×\frac{1}{6}\)
\(=583(円)\)

出目の期待値は3.5,商品券の獲得金額の期待値は583円になる

サイコロを無限回投げて
平均を求めてみたら
理想的な出目は3.5
理想的な商品券の金額は
583円相当なんですね!果たして
そうなるんでしょうか?
pythonを使って確認
してみます。

出目と賞金の期待値の実験

サイコロ実験

サイコロを10回,50回,100回,1000回降って
出目の平均、商品券の賞金の平均を観測する
Pythonを利用してサイコロの確率モデル
を作成する

サイコロの出目の平均
商品券の獲得賞金の平均を
計算するコード作りました。
黄色い下線の変数を変えることで
試行回数を変更できます。
コードそのまま使えますよ!
結果だけ確認したい方は
コードは読み飛ばしちゃって
ください

実験に使ったコード

#サイコロを振る試行回数
import numpy as np

#平均の計算の関数
def expect(nn):
  
  expected_value = sum(x for  x in  nn)/len(nn)
  return expected_value

#試行回数
num1=10
num2=50
num3=100
num4=1000

#サイコロの出目
dice_data=np.array([1,2,3,4,5,6])
#サイコロモデル
dice_model=np.random.choice(dice_data,num1)
print("x=",dice_model)

#確率配列初期化
P=np.zeros(len(dice_model))
G=np.zeros(len(dice_model))


for i in range(len(dice_model)):
  #一様な確率を配列に入れる
  P[i]=1/6
  #引換券の賞金を配列に入れる
  if dice_model[i]==1:
    G[i]=100
  elif  dice_model[i]==2:
    G[i]=300
  elif  dice_model[i]==3:
    G[i]=500
  elif  dice_model[i]==4:
    G[i]=800
  elif  dice_model[i]==5:
    G[i]=1000
  elif  dice_model[i]==6:
    G[i]=800
    
print("g(x)=",G)
#出目の平均
X=expect(dice_model)
print("E[x]=",X)

#賞金の平均
gx=expect(G)
print("E[g(x)]=",gx)

計算結果はコードのprint関数を利用して下記のように確認できる

実験結果

コードの黄色い下線部
np.random.choice(dice_data,num1)
10回,50回,100回,1000回
と変更していきます。
結果を表にします

試行回数	10回	50回	100回	1000回
E[x]	4.7	3.42	3.54	3.505
E[g(x)]	810	578	583	581.4

以上の結果から期待値E[x]は計測値を
無限回得たときの平均であることが分かる。

母平均の定義

無限回観察すれば母集団の様子を完全に
理解することが出来るからE(x)は母集団の
中心を表していることが分かる。
母集団μはE(x)を表していることが分かる

\(μ=E[x]\)

期待値の性質

\(xを確率変数,a,bを定数とする時\)
\(E[ax+b]=aE[x]+b\)
\(xとy２つの確率変数が存在する時\)
\(E[x+ y]=E[x]+E[y]\)
\(xとｙが独立であれば)
\(E[xy]=E[x]E[y]\)
\(x_iを確率変数，a_iを定数とすれば\)
\(E[a_1x_1+a_2x_2…a_nx_n]\)
\(=a_1E[X_1]+a_2E[X_2]+…a_nE[X_n]\)