今回は2つの
相関関係の
関連度を
表す母相関係数の
検定と推定を
行う方法に
ついて説明致します
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目次
相関関係とは?
1つの変数が変化すると
それに対応してもう1つの変数も変化する関係のことです
例えば
勉強を頑張った分だけ
テストの点数がよくなった
データがあります。
我々はそれを見て
勉強時間が変化すれば
テストの点数も変化すると考えます
つまり勉強時間とテストの点数は相関関係があると
いうことです
散布図(Scatter Plot)とは？
散布図（Scatter Plot）は
2つの連続的な変数（数値データ）の関係を
視覚的に表現するためのデータ可視化手法です。
横軸に1つの変数、縦軸にもう1つの変数を配置し
データポイントを点としてプロットすることで
変数間の相互関係やパターンを直感的に理解しやすくします。
この散布図を見ると
テストを頑張った
人ほど点数が
良くなってる
ように見えるね!
相関係数（Correlation Coefficient）
xとyの関係を定量的に示すために
相関係数rを次のように計算する
\(\displaystyle r = \frac{S_{xy}}{S_{xx}S_{yy}}\)
\(S_{xx}\),\(S_{yy}\)は各変数の平方和
\(S_{xy}\)はxとyの偏差平方和
\(\displaystyle S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i -\frac{\sum x_i\sum y_i}{n}\)
\(\displaystyle S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2 -\frac{(\sum x_i)^2}{n}\)
\(\displaystyle S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}y_i^2 -\frac{(\sum y_i)^2}{n}\)
母相関係数に関する検定と推定
母相関係数
相関分析を行う2変数x,yは
\(N(μ_x,σ_x^2)\) , \(N(μ_y,σ_y^2)\)に従うと考え
xとyの母集団の相関関係を示す統計量として
\(\displaystyle ρ = \frac{C(x,y)}{\sqrt{V(x)V(y)}}\)
\(-1≦ ρ ≦ 1\)
Rの分布
Rは統計量で確率分布に従っている
\(ρ = 0\), 無相関の時
\(\displaystyle t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \)は自由度n-2のt分布に従う
\(ρ \neq 0\)の時
\(\displaystyle Z = \frac{1}{2}ln\frac{1+r}{1-r}\)は近似的に\(\displaystyle N(\frac{1}{2}ln\displaystyle \frac{1+ρ}{1-ρ},\frac{1}{n-3})に従う\)
相関が
あるときと
ない時で
統計量が
全然違う～
特に統計量Zは”z変換”と呼ぶ
\(\displaystyle t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \)
からrの式に変換すると
\(\displaystyle r(Φ,P) = \frac{t(Φ,P)}{\sqrt{Φ+(t(Φ,P))^2}}\)
確率分布表で上記の値を参照することが出来る
母相関係数\(ρ\)に関する検定手順
無相関であると仮説を立てる
\(H_0 : ρ =0\)
対立仮説を立てる
\(H_0 : ρ \neq 0\)
有意水準を立てる
\(α = 0.05 or 0.01 \)
棄却域を決める
\(R: ❘ r ❘ ≧ r(Φ , α)\)
データから相関係数を求める
\(\displaystyle r = \frac{S_{xy}}{S_{xx}S_{yy}}\)
\(Φ = n-2\)
rが棄却域にあれば棄却し相関があると判断する
早速例題を解いて
行きましょ～
Let’s start !
例題
以下のデータに相関があるか検定を利用して確認せよ
| No. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| x | 8 | 20 | 16 | 21 | 23 | 15 | 12 | 13 | 9 | 18 | 21 | 22 |
| y | 25 | 51 | 32 | 44 | 60 | 45 | 20 | 34 | 30 | 35 | 24 | 52 |
まず散布図にしてみます
なんか
関係ありそう!!
仮説を立てる
相関がないと仮説を立てます。
\(H_0 : ρ = 0\)
対立仮説
\(H_1 : ρ \neq 0\)
有意水準と棄却域を立てる
有意水準
α = 0.05
棄却域
\(R: ❘ r ❘ ≧ r(10,0.05)\)
r分布表で上記の値を参照すると
\(R: ❘ r ❘ ≧ 0.53\)
相関係数をデータから計算する
\(\displaystyle r = \frac{S_{xy}}{S_{xx}S_{yy}}\)
\(r =0.677\)
判定をする
\(R: ❘ r ❘ ≧ 0.53\)より
帰無仮説は棄却され
相関があると言える
でっきた～
次に母相関係数の
点推定と
区間推定を
やるよ～
母相関係数の推定手順
点推定は
\(\hat ρ = r\)
次に母相関係数の
区間推定を
やるよ～
Z変換
ｒをzに変換する
\(\displaystyle Z = \frac{1}{2}ln\frac{1+r}{1-r}\)
\(\displaystyle Z = \frac{1}{2}ln\frac{1+ρ}{1-ρ}\)の信頼区間を求める
(\(Z-\displaystyle \frac{1.96}{\sqrt{n-3}},Z+\displaystyle \frac{1.96}{\sqrt{n-3}})\) \(=(ζ_1,ζ_2)\)
信頼区間99%の時は1.96を2.576
90%の時は1.645
\(ρ\)の信頼区間を構成する
\(\displaystyle (\frac{e^2ζ_1-1}{e^2ζ_1+1},\frac{e^2ζ_2-1}{e^2ζ_2+1})\)
参考文献
第7章 相関分析
